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详解有限元模型在系统分析中的应用

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本文要点:

  • 有限元分析是在复杂几何中为微分方程求解的一种基本的数值计算方法。
  • 这些复杂的系统可能无法人工求解，而且可能存在不同物理现象之间的耦合，特别是在电子领域。
  • 顶尖的有限元系统将直接从 PCB Layout 中获取数据，并使用标准的数值算法创建多物理场仿真。

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微分方程是用来描述物理现象的主要数学工具。从牛顿定律到薛定谔方程，任何物理系统都有一个可控制其行为的微分方程。常微分方程和偏微分方程求解是应用数学研究的一个长期课题，为此已开发出许多计算软件。

高度精确的数值计算方法可以借助当今的现代计算能力来实现。以前，这些方法可能难以实现，而且容易出现巨大错误，但现在，人们可以使用常规计算机在合理的时间内完成这些数值计算。在检查稳态系统时，有限元建模等方法的结果也非常准确。如果我们需要对复杂电子系统的行为进行建模，那么使用有限元建模来检查在稳态下发生的情况则是明智之举。

有限元建模为复杂的电子系统提供了直观的多物理场仿真结果。

什么是有限元建模？

有限元建模 (Finite Element Modeling ，即FEM) 涉及到一类使用迭代求解算法来求解一系列离散微分方程的方法。在此类方法中，系统被分解并离散成小单元，并在空间的每一点上确定控制该系统的微分方程的解。

有限元建模的第一步是在系统的边界内对控制相关现象的微分方程进行离散化处理。这涉及到在创建有限元建模仿真时，向数值求解器输入一系列特定的信息：

  • 边界条件。相关微分方程的解值必须在系统边界上定义。狄利克雷、诺伊曼和混合问题可以在这些系统中解决。泛函边界条件也可以加以应用。
  • 网格创建。网格的构建涉及到选择一个基函数来定义网格中相邻点之间的连接。然后用这些连接来定义系统微分方程中导数之间的迭代关系，并最终与边界条件联系起来。
  • 初始条件（用于及时迭代的问题）。含时问题需要一个初始条件，这些问题使用时空有限元法解决。

有限元建模的应用

相关的典型问题包括结构分析、热量传导/扩散、流体流动、质量传递和电磁势（静态场和电压分布）。多物理场耦合问题只要在时间上是庞加莱稳定的，就可以加以处理。此外，非线性问题可以用特定的求解器例程来解决，从而可以处理 CFD 问题。

波导结构的有限元建模结果。

FEM 与 FVM

在对流体动力学问题进行建模时，有限体积法 (Finite Element Modeling ，即FVM) 比有限元法更受常见。特别是在系统的控制微分方程使用非自伴随微分算子时，可以使用这种方法。该方法求解控制方程的积分形式，因此可以忽略有限元/有限差分方法中要求的局部连续性。

例如积分形式的麦克斯韦方程，可以写成：

这些方程包含在系统特定体积内计算的定积分，因此称为“有限体积法”。FVM 只是将系统中的不同区域拼接在一起，拼接方式与有限元建模采取的方式相同，但网格是 3D 体而非一系列连接的点。

有限差分时域

这种数值建模方法通常用于时域问题，其中系统被直接离散化，也就是不使用基函数。实际上，系统中的任意点都可以用于将控制方程中的导数转换为有限差分。

创建有限元仿真的技巧

在开始运行有限元仿真之前，我们可以采取一些简单的步骤来简化系统，并在不牺牲精度的情况下加快收敛速度。

  • 识别对称性和同质性。通过确定系统中预期解是齐次的任何区域或方向，可以忽略该方向上或该区域内的导数。这减少了解中的维数并加快了计算时间。
  • 选定网格密度。自适应网格通常用于将不同的网格分辨率值应用于系统的不同区域。在系统中，可能只有某些部分才要求达到很高的精度，因此可以在这些区域应用更精细的网格。
  • 确定静态与动态系数。具有变量或非线性分量的微分方程可以用有限元建模来处理。不过，与解相比，这些系数可能变动缓慢，因此在某些情况下，将系数近似为常数较为合适。

一旦我们将系统减少到更少的维度（如果可能的话）并确定了所需的网格密度，最好的场求解工具可以将 PCB 或 IC layout转换成网格模型，用于解决多物理场问题。一些功能强大的软件工具可以实现有限元建模的网格自动生成。然后，我们可以选择用于仿真的特定数值算法，以达到所需的精度。

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